Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $4$ è la matrice quadrata $4 \times 4$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{4}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.13.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.14.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.15.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

Passaggio 4.1.2.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 + 0 & 30 + 0 & 5 + 0 \\ - 23 + 0 & - 30 - λ & - 35 + 0 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $25$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 + 0 & 5 + 0 \\ - 23 + 0 & - 30 - λ & - 35 + 0 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $30$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 + 0 \\ - 23 + 0 & - 30 - λ & - 35 + 0 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 + 0 & - 30 - λ & - 35 + 0 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $- 23$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 + 0 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $- 35$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $- 5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.7

Somma $7$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.8

Somma $9$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 - λ & 1 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.10

Somma $- 3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.11

Somma $- 4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.12

Somma $- 5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

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Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 9 & 10 - λ & 1 \\ - 4 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(19 - λ) | \begin{array}{c} - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 9 & 10 - λ & 1 \\ - 4 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (19 - λ) | \begin{array}{c} - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 9 & 10 - λ & 1 \\ - 4 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 9 & 10 - λ & 1 \\ - 4 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Passaggio 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 30 - λ) | \begin{array}{c} 10 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) | \begin{array}{c} 10 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2

Calcola $| \begin{array}{c} 10 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) ((10 - λ) (- 1 - λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.2.2.1.1

Espandi $(10 - λ) (- 1 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (10 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (10 \cdot - 1 + 10 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (10 \cdot - 1 + 10 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.1

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 + 10 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.3

Moltiplica $- λ \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.3.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ - λ (- λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ + 1 λ^{2} - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ + λ^{2} - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.2

Somma $- 10 λ$ e $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 9 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.3

Moltiplica $- (- 5 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 9 λ + λ^{2} - - 5) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 9 λ + λ^{2} + 5) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.2

Somma $- 10$ e $5$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 9 λ + λ^{2} - 5) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riordina $- 9 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3

Calcola $| \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (9 (- 1 - λ) - (- 4 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (9 \cdot - 1 + 9 (- λ) - (- 4 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 + 9 (- λ) - (- 4 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 - 9 λ - (- 4 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.4

Moltiplica $- (- 4 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 - 9 λ - - 4) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 - 9 λ + 4) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.2

Somma $- 9$ e $4$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (9 \cdot - 5 - (- 4 (10 - λ)))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.1

Moltiplica $9$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 - (- 4 (10 - λ)))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 - (- 4 \cdot 10 - 4 (- λ)))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 - (- 40 - 4 (- λ)))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 - (- 40 + 4 λ))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 - - 40 - (4 λ))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 40$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 + 40 - (4 λ))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.1.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 + 40 - 4 λ)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $- 45$ e $40$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 5 - 4 λ)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4.2.3

Riordina $- 5$ e $- 4 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Espandi $(- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} - 30 (- 9 λ) - 30 \cdot - 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 9$ per $- 30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ - 30 \cdot - 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 30$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.2.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - (λ^{2} λ) - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{2 + 1} - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.2.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ^{2} - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} + 9 λ^{2} - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.2.7

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} + 9 λ^{2} + 5 λ + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.3

Somma $- 30 λ^{2}$ e $9 λ^{2}$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} + 5 λ + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.4

Somma $270 λ$ e $5 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} + 35 (- 9 λ) + 35 \cdot - 5 - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.6

Moltiplica $- 9$ per $35$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} - 315 λ + 35 \cdot - 5 - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.7

Moltiplica $35$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} - 315 λ - 175 - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} - 315 λ - 175 - 5 (- 4 λ) - 5 \cdot - 5) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.9

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} - 315 λ - 175 + 20 λ - 5 \cdot - 5) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.1.10

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} - 315 λ - 175 + 20 λ + 25) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.2

Sottrai $315 λ$ da $275 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - 40 λ + 150 - λ^{3} - 175 + 20 λ + 25) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.3

Somma $- 40 λ$ e $20 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - 20 λ + 150 - λ^{3} - 175 + 25) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.4

Sottrai $175$ da $150$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} - 25 + 25) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.5

Combina i termini opposti in $- 21 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} - 25 + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.5.1

Somma $- 25$ e $25$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} + 0) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.5.2

Somma $- 21 λ^{2} - 20 λ - λ^{3}$ e $0$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - 20 λ - λ^{3}) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.6

Sposta $- 20 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - λ^{3} - 20 λ) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.2.5.7

Riordina $- 21 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.3.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 35 & - 5 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 7 | \begin{array}{c} - 35 & - 5 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 | \begin{array}{c} - 35 & - 5 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} | + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 35 & - 5 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (- 35 (- 1 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (- 35 \cdot - 1 - 35 (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 35$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 - 35 (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 35$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 + 35 λ - (- 5 \cdot - 5)) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2.1.4

Moltiplica $- (- 5 \cdot - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.4.1

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 + 35 λ - 1 \cdot 25) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 + 35 λ - 25) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2.2

Sottrai $25$ da $35$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (- 23 (- 1 - λ) - (- 3 \cdot - 5)) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (- 23 \cdot - 1 - 23 (- λ) - (- 3 \cdot - 5)) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Moltiplica $- 23$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 - 23 (- λ) - (- 3 \cdot - 5)) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 23$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 + 23 λ - (- 3 \cdot - 5)) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2.1.4

Moltiplica $- (- 3 \cdot - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 3$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 + 23 λ - 1 \cdot 15) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 + 23 λ - 15) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.3.2.2

Sottrai $15$ da $23$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 (- 23 \cdot - 5 - (- 3 \cdot - 35))) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 23$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 (115 - (- 3 \cdot - 35))) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 3 \cdot - 35)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 3$ per $- 35$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 (115 - 1 \cdot 105)) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $105$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 (115 - 105)) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.4.2.2

Sottrai $105$ da $115$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ) - 7 \cdot 10 + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.2

Moltiplica $35$ per $- 7$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 7 \cdot 10 + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.3

Moltiplica $- 7$ per $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.4

Espandi $(10 - λ) (23 λ + 8)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 10 (23 λ + 8) - λ (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 10 (23 λ) + 10 \cdot 8 - λ (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 10 (23 λ) + 10 \cdot 8 - λ (23 λ) - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.5.1.1

Moltiplica $23$ per $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 10 \cdot 8 - λ (23 λ) - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.2

Moltiplica $10$ per $8$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - λ (23 λ) - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - 1 \cdot 23 λ \cdot λ - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.4

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.5.1.4.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - 1 \cdot 23 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - 1 \cdot 23 λ^{2} - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $23$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - 23 λ^{2} - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.1.6

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - 23 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.5.2

Sottrai $8 λ$ da $230 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 222 λ + 80 - 23 λ^{2} - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.1.6

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 222 λ + 80 - 23 λ^{2} - 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $- 245 λ$ e $222 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ - 70 + 80 - 23 λ^{2} - 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.3

Somma $- 70$ e $80$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ + 10 - 23 λ^{2} - 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.4

Combina i termini opposti in $- 23 λ + 10 - 23 λ^{2} - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.4.1

Sottrai $10$ da $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ - 23 λ^{2} + 0) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.4.2

Somma $- 23 λ - 23 λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ - 23 λ^{2}) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.3.5.5

Riordina $- 23 λ$ e $- 23 λ^{2}$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 23 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2

Calcola $| \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (9 (- 1 - λ) - (- 4 \cdot 1)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (9 \cdot - 1 + 9 (- λ) - (- 4 \cdot 1)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 + 9 (- λ) - (- 4 \cdot 1)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 - 9 λ - (- 4 \cdot 1)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2.1.4

Moltiplica $- (- 4 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 - 9 λ - - 4) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 - 9 λ + 4) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.2.2.2

Somma $- 9$ e $4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3

Calcola $| \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (7 (- 1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (7 \cdot - 1 + 7 (- λ) - (- 3 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2.1.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 + 7 (- λ) - (- 3 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 - 7 λ - (- 3 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2.1.4

Moltiplica $- (- 3 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 - 7 λ - - 3) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 - 7 λ + 3) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.3.2.2

Somma $- 7$ e $3$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.4

Calcola $| \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 (7 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 9))) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1.1

Moltiplica $7$ per $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 (- 28 - (- 3 \cdot 9))) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 3 \cdot 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 (- 28 - - 27)) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 27$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 (- 28 + 27)) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.4.2.2

Somma $- 28$ e $27$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ) - 23 \cdot - 5 - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.2

Moltiplica $- 9$ per $- 23$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ - 23 \cdot - 5 - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.3

Moltiplica $- 23$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + (- - 30 - - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + (30 - - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.6

Moltiplica $- - λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + (30 + 1 λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.6.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + (30 + λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.7

Espandi $(30 + λ) (- 7 λ - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + 30 (- 7 λ - 4) + λ (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + 30 (- 7 λ) + 30 \cdot - 4 + λ (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + 30 (- 7 λ) + 30 \cdot - 4 + λ (- 7 λ) + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.8.1.1

Moltiplica $- 7$ per $30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ + 30 \cdot - 4 + λ (- 7 λ) + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.1.2

Moltiplica $30$ per $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ - 120 + λ (- 7 λ) + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ - 120 - 7 λ \cdot λ + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.1.4

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1.8.1.4.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ - 120 - 7 (λ \cdot λ) + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ - 120 - 7 λ^{2} + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.1.5

Sposta $- 4$ alla sinistra di $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ - 120 - 7 λ^{2} - 4 λ - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.8.2

Sottrai $4 λ$ da $- 210 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 214 λ - 120 - 7 λ^{2} - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.1.9

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 214 λ - 120 - 7 λ^{2} + 5) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.2

Sottrai $214 λ$ da $207 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ + 115 - 120 - 7 λ^{2} + 5) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.3

Sottrai $120$ da $115$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ - 5 - 7 λ^{2} + 5) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.4

Combina i termini opposti in $- 7 λ - 5 - 7 λ^{2} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.4.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ - 7 λ^{2} + 0) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.4.2

Somma $- 7 λ - 7 λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ - 7 λ^{2}) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.4.5.5

Riordina $- 7 λ$ e $- 7 λ^{2}$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.5

Calcola $| \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 23 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} | - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2

Calcola $| \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (9 \cdot - 5 - (- 4 (10 - λ))) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Moltiplica $9$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 - (- 4 (10 - λ))) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 - (- 4 \cdot 10 - 4 (- λ))) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 - (- 40 - 4 (- λ))) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 - (- 40 + 4 λ)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 - - 40 - (4 λ)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 40$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 + 40 - (4 λ)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.1.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 + 40 - 4 λ) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.2

Somma $- 45$ e $40$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 5 - 4 λ) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2.2.3

Riordina $- 5$ e $- 4 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (7 \cdot - 5 - (- 3 (10 - λ))) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.1

Moltiplica $7$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 - (- 3 (10 - λ))) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 - (- 3 \cdot 10 - 3 (- λ))) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 - (- 30 - 3 (- λ))) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 - (- 30 + 3 λ)) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 - - 30 - (3 λ)) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 + 30 - (3 λ)) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 + 30 - 3 λ) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.2

Somma $- 35$ e $30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 5 - 3 λ) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.3

Riordina $- 5$ e $- 3 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 (7 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 9)))$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Moltiplica $7$ per $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 (- 28 - (- 3 \cdot 9)))$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 3 \cdot 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 (- 28 - - 27))$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 27$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 (- 28 + 27))$

Passaggio 5.5.4.2.2

Somma $- 28$ e $27$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ) - 23 \cdot - 5 - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 23$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ - 23 \cdot - 5 - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.3

Moltiplica $- 23$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + (- - 30 - - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + (30 - - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.6

Moltiplica $- - λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + (30 + 1 λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.6.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + (30 + λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.7

Espandi $(30 + λ) (- 3 λ - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + 30 (- 3 λ - 5) + λ (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + 30 (- 3 λ) + 30 \cdot - 5 + λ (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + 30 (- 3 λ) + 30 \cdot - 5 + λ (- 3 λ) + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.8.1.1

Moltiplica $- 3$ per $30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ + 30 \cdot - 5 + λ (- 3 λ) + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.8.1.2

Moltiplica $30$ per $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ - 150 + λ (- 3 λ) + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.8.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ - 150 - 3 λ \cdot λ + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.8.1.4

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.8.1.4.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ - 150 - 3 (λ \cdot λ) + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.8.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ - 150 - 3 λ^{2} + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.8.1.5

Sposta $- 5$ alla sinistra di $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ - 150 - 3 λ^{2} - 5 λ - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.8.2

Sottrai $5 λ$ da $- 90 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 95 λ - 150 - 3 λ^{2} - 35 \cdot - 1)$

Passaggio 5.5.5.1.9

Moltiplica $- 35$ per $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 95 λ - 150 - 3 λ^{2} + 35)$

Passaggio 5.5.5.2

Sottrai $95 λ$ da $92 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ + 115 - 150 - 3 λ^{2} + 35)$

Passaggio 5.5.5.3

Sottrai $150$ da $115$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ - 35 - 3 λ^{2} + 35)$

Passaggio 5.5.5.4

Combina i termini opposti in $- 3 λ - 35 - 3 λ^{2} + 35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.4.1

Somma $- 35$ e $35$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ - 3 λ^{2} + 0)$

Passaggio 5.5.5.4.2

Somma $- 3 λ - 3 λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ - 3 λ^{2})$

Passaggio 5.5.5.5

Riordina $- 3 λ$ e $- 3 λ^{2}$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Espandi $(19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 19 (- λ^{3}) + 19 (- 21 λ^{2}) + 19 (- 20 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $19$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 19 (- 21 λ^{2}) + 19 (- 20 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.2

Moltiplica $- 21$ per $19$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} + 19 (- 20 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.3

Moltiplica $- 20$ per $19$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - λ (- λ^{3}) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.5

Moltiplica $λ$ per $λ^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.5.1

Sposta $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.5.2

Moltiplica $λ^{3}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.5.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.5.3

Somma $3$ e $1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + 1 λ^{4} - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.7

Moltiplica $λ^{4}$ per $1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 21 λ \cdot λ^{2} - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.9

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.9.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 21 (λ^{2} λ) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.9.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.9.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 21 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 21 λ^{2 + 1} - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.9.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 21 λ^{3} - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $- 21$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 21 λ^{3} - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 21 λ^{3} - 1 \cdot - 20 λ \cdot λ - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.12

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.12.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 21 λ^{3} - 1 \cdot - 20 (λ \cdot λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.12.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 21 λ^{3} - 1 \cdot - 20 λ^{2} - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.2.13

Moltiplica $- 1$ per $- 20$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 21 λ^{3} + 20 λ^{2} - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.3

Somma $- 19 λ^{3}$ e $21 λ^{3}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 20 λ^{2} - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.4

Somma $- 399 λ^{2}$ e $20 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 25 (- 23 λ^{2}) - 25 (- 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.6

Moltiplica $- 23$ per $- 25$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} - 25 (- 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.7

Moltiplica $- 23$ per $- 25$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ + 30 (- 7 λ^{2}) + 30 (- 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.9

Moltiplica $- 7$ per $30$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ - 210 λ^{2} + 30 (- 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.10

Moltiplica $- 7$ per $30$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ - 210 λ^{2} - 210 λ - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.11

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ - 210 λ^{2} - 210 λ - 5 (- 3 λ^{2}) - 5 (- 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.12

Moltiplica $- 3$ per $- 5$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ - 210 λ^{2} - 210 λ + 15 λ^{2} - 5 (- 3 λ)$

Passaggio 5.6.1.13

Moltiplica $- 3$ per $- 5$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ - 210 λ^{2} - 210 λ + 15 λ^{2} + 15 λ$

Passaggio 5.6.2

Somma $- 379 λ^{2}$ e $575 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + 196 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ - 210 λ^{2} - 210 λ + 15 λ^{2} + 15 λ$

Passaggio 5.6.3

Sottrai $210 λ^{2}$ da $196 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 14 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ - 210 λ + 15 λ^{2} + 15 λ$

Passaggio 5.6.4

Somma $- 14 λ^{2}$ e $15 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ - 210 λ + 15 λ$

Passaggio 5.6.5

Somma $- 380 λ$ e $575 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} + 195 λ - 210 λ + 15 λ$

Passaggio 5.6.6

Sottrai $210 λ$ da $195 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - 15 λ + 15 λ$

Passaggio 5.6.7

Combina i termini opposti in $2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - 15 λ + 15 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.7.1

Somma $- 15 λ$ e $15 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} + 0$

Passaggio 5.6.7.2

Somma $2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4}$ e $0$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4}$

Passaggio 5.6.8

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{4} + λ^{2}$

Passaggio 5.6.9

Riordina $2 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} + 2 λ^{3} + λ^{2}$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{4} + 2 λ^{3} + λ^{2} = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $λ^{2}$ da $λ^{4} + 2 λ^{3} + λ^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Scomponi $λ^{2}$ da $λ^{4}$ .

$λ^{2} λ^{2} + 2 λ^{3} + λ^{2} = 0$

Passaggio 7.1.1.2

Scomponi $λ^{2}$ da $2 λ^{3}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (2 λ) + λ^{2} = 0$

Passaggio 7.1.1.3

Moltiplica per $1$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (2 λ) + λ^{2} \cdot 1 = 0$

Passaggio 7.1.1.4

Scomponi $λ^{2}$ da $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (2 λ)$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 2 λ) + λ^{2} \cdot 1 = 0$

Passaggio 7.1.1.5

Scomponi $λ^{2}$ da $λ^{2} (λ^{2} + 2 λ) + λ^{2} \cdot 1$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 2 λ + 1) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 2 λ + 1^{2}) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

Passaggio 7.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$λ^{2} (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 7.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = λ$ e $b = 1$ .

$λ^{2} {(λ + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ^{2} = 0$

${(λ + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $λ^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta $λ^{2}$ uguale a $0$ .

$λ^{2} = 0$

Passaggio 7.3.2

Risolvi $λ^{2} = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$λ = \pm 0$

Passaggio 7.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$λ = 0$

Passaggio 7.4

Imposta ${(λ + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta ${(λ + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(λ + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi ${(λ + 1)}^{2} = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Poni $λ + 1$ uguale a $0$ .

$λ + 1 = 0$

Passaggio 7.4.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 1$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $λ^{2} {(λ + 1)}^{2} = 0$ vera.

$λ = 0, - 1$